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標題: 請問去年希望杯數學國二第15題怎麼解? [打印本頁]

作者: puli_n 時間: 2018-3-15 05:28 PM 標題: 請問去年希望杯數學國二第15題怎麼解?

本帖最後由 puli_n 於 2018-3-15 05:30 PM 編輯

上網搜尋詳解，都要用到三角函數，可是國二沒教啊!請教各位高手有其他符合國二程度的解法嗎?

15. 如圖所示，角ADC = 30度， ABC 為正三角形，若 AD = 3, BD = 5 ，則△ACD 的面積是 ?[attach]122607801[/attach]

作者: snowflying 時間: 2018-3-23 11:56 PM

本帖最後由 snowflying 於 2018-3-24 01:42 AM 編輯

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做一個正三角形 CDE
BC = AC (ABC為正三角形，邊長相等)
CD = CE (CDE為正三角形，邊長相等)
角 BCD = 60度 + 角 ACD = 角 ACE
可得三角形BCD 與三角形 ACE 全等 (SAS 全等)

所以 AE = BD = 5
CD = DE = sqrt(5^2 - 3^2) = 4

三角形 ACD 中，做 AF 垂直 CD，AF 即為高
由於 ADF 是直角三角形，且角 ADF = 30度
AF = 1/2 * AD = 1/2 * 3 = 3/2

三角形 ACD 面積 = 1/2 * CD * AF = 1/2 * 4 * 3/2 = 3

另一個解法比較麻煩，但還是做得出來

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做以 CD 為對稱軸的三角形 DEC，使得 CDE 與 CDA 全等
連接 AE，由於對稱的關係，可以得到角 AE 垂直 CD
而 AD = DE，角 ADE 又是 60 度，故 ADE 為正三角形

設角 AEC 為 x度
則角 CEF = 180 - 60 - x = 120 - x 度
角 ACE = 180 - 2x 度
角 ECF = 180 - 60 - (180 - 2x) = 2x - 60度
角 CFE = 180 - (120 - x) - (2x - 60) = 120 - x 度
由於角 CFE = 角 CEF，CEF 為等腰三角形

又 CF = CE = AC = CB，ABEF 在同一外接圓內，圓心為 C
連接 BE，角 BEF = 1/2 * 圓弧度數 = 1/2 * 180 = 90 度
故 BED 為直角三角形

斜邊 BD = 5，一邊 DE = AD = 3，可得 BE = 4
三角形 CDE 以 DE 為底，做高 CH 與 EF 相交於 H
由於角 FCH = 1/2 角FCE = 1/2 * 弧EF度數 = 角FBE
FCH 與 FBE 相似
又 CF = 1/2 * BF (半徑為直徑的一半)
所以 CH = 1/2 * BE = 1/2 * 4 = 2
ADC 的面積 = EDC 的面積 = 1/2 * DE * CH = 1/2 * 3 * 2 = 3

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